首页 >

什么函数求导等于arctan（求导结果为arctan的函数）

求导结果为arctan的函数

在数学领域中，求导是一项基本的操作，其结果为各种函数在特定点的导数。而对于一些特殊的函数，其求导结果也十分有趣，其中就包括了求导结果为arctan的函数。本篇文章将会介绍这些函数以及它们的性质。

第一类函数

第一类的函数中，最为著名的便是y=arctan(x)。该函数的导数为1/(1+x^2)。这个结果可以通过y=arctan(x)的微分公式dx/(1+x^2)来证明。具体而言，我们可以采用一下的数学方法：

$y=\tan^{-1}(x),\ \because\tan{\frac{\pi}{4}}=1,\ \therefore\ x=\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right),”$

我们将x用y和常数pi/4表示，并对y求导，即可得到1/(1+x^2)，也就是arctan函数在任何时刻的导数。

什么函数求导等于arctan（求导结果为arctan的函数）

第二类函数

第二类函数中，最为标志性的是y=x*arctan(x)。该函数的导数为arctan(x)/(1+x^2)+log(1+x^2)。这个结果通过y=x*arctan(x)的微分公式xd(arctan(x))/dx+arctan(x)来推导。具体而言，我们将y=x*arctan(x)转化为y=arctan(x^x)表示，并对其求导。

$\begin{aligned} y&=x\tan^{-1}(x)\\ \therefore\frac{dy}{dx}&=\tan^{-1}(x)+\frac{x}{1+x^2}\\ &=\frac{arctan(x)}{1+x^2}+\log(x^2+1) \end{aligned}”$

从式子中可以发现，y=x*arctan(x)的导数由arctan(x)/(1+x^2)和log(1+x^2)这两部分组成。

什么函数求导等于arctan（求导结果为arctan的函数）

第三类函数

第三类函数中，最为重要的是y=sin(x)/x。该函数的导数可以被表示为-cos(x)/x+sin(x)/x^2。这个结果可以通过求y=sin(x)/x的微分公式dy/dx=（x*cos(x)-sin(x)）/x^2推导出来。

什么函数求导等于arctan（求导结果为arctan的函数）

$\begin{aligned} y&=\frac{\sin(x)}{x}\\ \therefore\frac{dy}{dx}&=\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}\\ &=-\frac{\cos(x)}{x}+\frac{\sin(x)}{x^2} \end{aligned}”$

可以发现，y=sin(x)/x的导数可以由-cos(x)/x和sin(x)/x^2两部分相加而成。

总结

本篇文章介绍了三种函数，这些函数在求导后的结果都为arctan。这些函数各自特有的性质和形式，常见于数学中。对于每一种函数，我们都提供了对应的微分公式和推导方法，以方便读者理解其中的原理和证明过程。

其他访客正在查看

热点资讯