欧拉角转四元数（欧拉角到四元数的转换方法）

欧拉角到四元数的转换方法

欧拉角是一种描述物体在三维空间内姿态的方法，常见的欧拉角有欧拉-绕-X 轴旋转角、欧拉-绕-Y 轴旋转角和欧拉-绕-Z 轴旋转角三个参数。但是，在进行计算机图形学、机器人运动控制等领域应用时，欧拉角所导致的万向节死锁、序列性、奇异性等问题成为制约应用发展的重要因素。因此，欧拉角也常常被转换到四元数表示法去避免这些问题的出现。

欧拉角的定义

欧拉角是一组用来描述物体在三维空间中的姿态的参数。常见的欧拉角有欧拉-绕-X 轴旋转角（$ \\phi $）、欧拉-绕-Y 轴旋转角（$ \heta $）和欧拉-绕-Z 轴旋转角（$ \\psi $）三个参数，它们相互组合，可以描述物体在空间中的绕轴旋转。

常用的表示欧拉角的方式有很多种，例如 ZYX（即 $ \\phi $-$ \heta $-$ \\psi $）、XYZ（即 $ \\psi $-$ \heta $-$ \\phi $）、YZX（即 $ \\phi $-$ \\psi $-$ \heta $） 等。其中，ZYX 是最常用的一种表示方法。

欧拉角到四元数的转换方法

为避免欧拉角的万向节死锁、序列性和奇异性问题，可以将欧拉角转换为四元数。

将欧拉角转换成四元数的方法可以通过下列公式实现：

$$ q = q_{1}q_{2}q_{3},$$

其中 $ q_{1}$、$ q_{2}$、 $ q_{3}$ 都是旋转绕轴的四元数。在 ZYX 姿态下，它们都可按如下方式定义：

$$ q_{1}= cos{\\frac{\\psi}{2}}+i \imes sin{\\frac{\\psi}{2}} ,$$

$$ q_{2}= cos{\\frac{\heta}{2}}+j \imes sin{\\frac{\heta}{2}} ,$$

$$ q_{3}= cos{\\frac{\\phi}{2}}+k \imes sin{\\frac{\\phi}{2}} ,$$

其中 $ i,j,k $ 代表空间直角坐标系中的 X、Y、Z 轴。

四元数的定义

四元数是一类超复数，由瑞士数学家哈密尔顿（William Hamilton）发明。其通用形式可以表示为：

$$ q = a_0 + a_1i + a_2j + a_3k $$

其中，$a_0, a_1, a_2, a_3$ 都是实数， $i,j,k$ 代表四元数的三个虚部，并且满足如下规则：

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$

四元数可以用来表示物体在三维空间内的旋转或转弯，因此在计算机图形学、机器人运动控制、分子动力学等领域具有广泛的应用。通过将欧拉角转换为四元数，可以有效地避免欧拉角所导致的问题，提高计算机图形学和机器人运动控制等领域的应用效率。