closed form（计算公式的推导方法）

计算公式的推导方法

什么是闭式形式（Closed Form）？

在数学和物理学中，经典的问题都有一个通用的解决方法，就是找到一个能够表达出问题的解的公式，称为解析解法。

闭式形式（Closed Form）就是指可以通过一些基本的函数运算和算术运算得到的解析解法。这种形式通常比数值解法更为简单和高效。

如何推导计算公式？

一、初等代数法

初等代数法即通过代数变换，将原方程转化为已知基本函数的形式，然后通过反函数、数乘、加减等方法得到所求函数。在初等函数中，常见的有幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

例如，设有如下方程：

通过移项变形，得到：

对其两边取正弦函数，得到：

最终得到：

即解析解法所得的闭式形式。

二、数学归纳法

数学归纳法是针对某些数学命题成立的方法。其中归纳法的递推公式所获得的通项公式就是所求函数的解析解法。通过数学归纳法可以得知一些规律或性质，从而构建出所需的公式。通常数学归纳法分为强归纳法和弱归纳法。

三、拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法是将时间域的方程通过拉普拉斯变换从时间域转化成复频率域，然后通过变换的性质求出复频率域下的解析解法，最后通过拉普拉斯反变换求得所求函数。与初等代数法相比，拉普拉斯变换法适用于线性微分方程体系，处理非常灵活。但是在某些特定条件下，由于变换对初值条件的影响，可能导致复杂的解析解法，使得该方法不太常用。

总结

三种方法是一些求解闭式形式计算公式的通用方法。其中初等代数法是最基本的方法，适用于初等函数、微分方程等场合，数学归纳法适用于循环递推结构、整数规律统计等场合，拉普拉斯变换法适用于线性微分方程体系，处理非常灵活。具体方法需要根据具体的问题和情况灵活运用。